慶應義塾大学
2016年 理工学部 第5問
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四面体$\mathrm{OABC}$の$4$つの面はすべて合同であり,$\mathrm{OA}=\sqrt{10}$,$\mathrm{OB}=2$,$\mathrm{OC}=3$であるとする.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\fbox{ニ}$であり,三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\fbox{ヌ}$である.
いま,$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とし,点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす.$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\fbox{ネ}$と表される.また,四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\fbox{ノ}$である.
次に,線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$,点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{AC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とすると,$\mathrm{PQ}$の長さは$\fbox{ハ}$である.また,$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を通り平面$\alpha$に垂直な平面による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口の面積は$\fbox{ヒ}$である. \imgc{202_89_2016_1}
いま,$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とし,点$\mathrm{O}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{OH}$を下ろす.$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\fbox{ネ}$と表される.また,四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\fbox{ノ}$である.
次に,線分$\mathrm{AH}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$,点$\mathrm{P}$から線分$\mathrm{AC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PQ}$とすると,$\mathrm{PQ}$の長さは$\fbox{ハ}$である.また,$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$を通り平面$\alpha$に垂直な平面による四面体$\mathrm{OABC}$の切り口の面積は$\fbox{ヒ}$である. \imgc{202_89_2016_1}
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