藤田保健衛生大学
2015年 医学部 第5問
5
![n=1,2,3,・・・に対して,関数F_n(x)をF_1(x)=\frac{1}{1+x},F_{n+1}(x)=\frac{1}{1+F_n(x)}で定義する.(1)F_3(x)を求めると,[11]である.次にn=1,2,3,・・・に対して,数列{p_n}をp_1=1,p_2=1,p_{n+2}=p_{n+1}+p_nで定義する.(2)F_n(x)=\frac{a_n+b_nx}{c_n+d_nx}で与えられるとき,n≧2に対してa_n,b_n,c_n,d_nを数列{p_n}を用いて表すと(a_n,b_n,c_n,d_n)=[12]である.(3)\lim_{n→∞}\frac{p_{n+1}}{p_n}が存在することを用いて\lim_{n→∞}F_n(0)の値を求めると[13]である.](./thumb/455/2242/2015_5.png)
5
$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,関数$F_n(x)$を
\[ F_1(x)=\frac{1}{1+x},\quad F_{n+1}(x)=\frac{1}{1+F_n(x)} \]
で定義する.
(1) $F_3(x)$を求めると,$\fbox{$11$}$である.次に$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,数列$\{p_n\}$を \[ p_1=1,\quad p_2=1,\quad p_{n+2}=p_{n+1}+p_n \] で定義する.
(2) $\displaystyle F_n(x)=\frac{a_n+b_n x}{c_n+d_n x}$で与えられるとき,$n \geqq 2$に対して$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を数列$\{p_n\}$を用いて表すと$(a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n)=\fbox{$12$}$である.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{p_{n+1}}{p_n}$が存在することを用いて$\displaystyle \lim_{n \to \infty}F_n(0)$の値を求めると$\fbox{$13$}$である.
(1) $F_3(x)$を求めると,$\fbox{$11$}$である.次に$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,数列$\{p_n\}$を \[ p_1=1,\quad p_2=1,\quad p_{n+2}=p_{n+1}+p_n \] で定義する.
(2) $\displaystyle F_n(x)=\frac{a_n+b_n x}{c_n+d_n x}$で与えられるとき,$n \geqq 2$に対して$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を数列$\{p_n\}$を用いて表すと$(a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n)=\fbox{$12$}$である.
(3) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{p_{n+1}}{p_n}$が存在することを用いて$\displaystyle \lim_{n \to \infty}F_n(0)$の値を求めると$\fbox{$13$}$である.
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