大阪市立大学
2015年 理系 第4問
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![Oを原点とする座標空間内に点A(0,0,1),B(1,0,1),C(1,1,1)が与えられている.線分OCを1つの対角線とし,線分ABを一辺とする立方体を直線OCの周りに回転して得られる回転体Kの体積を求めたい.次の問いに答えよ.(1)点P(0,0,p)(0<p≦1)から直線OCへ垂線を引いたときの交点Hの座標と線分PHの長さを求めよ.(2)点Q(q,0,1)(0≦q≦1)から直線OCへ垂線を引いたときの交点Iの座標と線分QIの長さを求めよ.(3)原点Oから点C方向へ線分OC上を距離u(0≦u≦√3)だけ進んだ点をUとする.点Uを通り直線OCに垂直な平面でKを切ったときの切り口の円の半径rをuの関数として表せ.(4)Kの体積を求めよ.](./thumb/506/1169/2015_4.png)
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$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$,$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 1)$が与えられている.線分$\mathrm{OC}$を$1$つの対角線とし,線分$\mathrm{AB}$を一辺とする立方体を直線$\mathrm{OC}$の周りに回転して得られる回転体$K$の体積を求めたい.次の問いに答えよ.
(1) 点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ p) \ \ (0<p \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{PH}$の長さを求めよ.
(2) 点$\mathrm{Q}(q,\ 0,\ 1) \ \ (0 \leqq q \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{I}$の座標と線分$\mathrm{QI}$の長さを求めよ.
(3) 原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{C}$方向へ線分$\mathrm{OC}$上を距離$u \ \ (0 \leqq u \leqq \sqrt{3})$だけ進んだ点を$\mathrm{U}$とする.点$\mathrm{U}$を通り直線$\mathrm{OC}$に垂直な平面で$K$を切ったときの切り口の円の半径$r$を$u$の関数として表せ.
(4) $K$の体積を求めよ.
(1) 点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ p) \ \ (0<p \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{PH}$の長さを求めよ.
(2) 点$\mathrm{Q}(q,\ 0,\ 1) \ \ (0 \leqq q \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{I}$の座標と線分$\mathrm{QI}$の長さを求めよ.
(3) 原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{C}$方向へ線分$\mathrm{OC}$上を距離$u \ \ (0 \leqq u \leqq \sqrt{3})$だけ進んだ点を$\mathrm{U}$とする.点$\mathrm{U}$を通り直線$\mathrm{OC}$に垂直な平面で$K$を切ったときの切り口の円の半径$r$を$u$の関数として表せ.
(4) $K$の体積を求めよ.
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コメント(2件)
![]() 作りました。立方体を対角線を軸に回転させたときの体積。切断面がどんな風になるか考えるのが非常に難しいです。図形の性質が分かって誘導に乗れれば、なんとかなりそうです。計算自体はそれほどでもありません。当日の受験生の正答率を想像して、難易度は難としました。(1)(2)は落せません。 |
![]() 解答作成中。 |
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