お茶の水女子大学
2016年 数学科・物理学科(共通問題) 第3問
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![f(x)=x^3+2x^2-x-2とし,Oを原点とする座標平面上の曲線y=f(x)をCとする.C上の点P(t,f(t))におけるCの接線をℓとおく.ℓが2直線x=-1,x=1と交わる点をそれぞれQ,Rとする.(1)接線ℓの方程式を求めよ.(2)tが-1<t<1の範囲を動くとき,三角形OQRの面積をS(t)とおく.S(t)をtを用いて表せ.(3)(2)のS(t)の最小値,およびそのときのtの値を求めよ.(4)t<1のとき,ℓとCがt<s<1を満たす点U(s,f(s))で交わるようなtの範囲を求めよ.またそのとき,線分PUとCとで囲まれる部分の面積と,線分URとCと直線x=1とで囲まれる部分の面積が等しくなるようなtの値を求めよ.](./thumb/177/2315/2016_3.png)
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$f(x)=x^3+2x^2-x-2$とし,$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上の曲線$y=f(x)$を$C$とする.$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における$C$の接線を$\ell$とおく.$\ell$が$2$直線$x=-1$,$x=1$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とする.
(1) 接線$\ell$の方程式を求めよ.
(2) $t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき,三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく.$S(t)$を$t$を用いて表せ.
(3) $(2)$の$S(t)$の最小値,およびそのときの$t$の値を求めよ.
(4) $t<1$のとき,$\ell$と$C$が$t<s<1$を満たす点$\mathrm{U}(s,\ f(s))$で交わるような$t$の範囲を求めよ.またそのとき,線分$\mathrm{PU}$と$C$とで囲まれる部分の面積と,線分$\mathrm{UR}$と$C$と直線$x=1$とで囲まれる部分の面積が等しくなるような$t$の値を求めよ.
(1) 接線$\ell$の方程式を求めよ.
(2) $t$が$-1<t<1$の範囲を動くとき,三角形$\mathrm{OQR}$の面積を$S(t)$とおく.$S(t)$を$t$を用いて表せ.
(3) $(2)$の$S(t)$の最小値,およびそのときの$t$の値を求めよ.
(4) $t<1$のとき,$\ell$と$C$が$t<s<1$を満たす点$\mathrm{U}(s,\ f(s))$で交わるような$t$の範囲を求めよ.またそのとき,線分$\mathrm{PU}$と$C$とで囲まれる部分の面積と,線分$\mathrm{UR}$と$C$と直線$x=1$とで囲まれる部分の面積が等しくなるような$t$の値を求めよ.
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