四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$は平面$\mathrm{OBC}$に直交し， \[ \mathrm{OA}=\sqrt{6},\quad \mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{BC}=1 \] であるとする．四面体$\mathrm{OABC}$の内部の点$\mathrm{P}$から，平面$\mathrm{OAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{PD}$，平面$\mathrm{OBC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PE}$，平面$\mathrm{OAC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PF}$，平面$\mathrm{ABC}$に下ろした垂線を$\mathrm{PG}$とする．ここで，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$はそれぞれ平面$\mathrm{OAB}$，$\mathrm{OBC}$，$\mathrm{OAC}$，$\mathrm{ABC}$上の点である．$3$つの線分$\mathrm{PD}$，$\mathrm{PE}$，$\mathrm{PF}$の長さは等しく，その長さを$R$とする．辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{H}$とすると，点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{OH}$上にあり，点$\mathrm{G}$は線分$\mathrm{AH}$上にある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおいて，次の問に答えよ．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{HA}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ．また線分$\mathrm{HA}$の長さを求めよ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$R$を用いて表せ．
(3) 線分$\mathrm{PG}$の長さが$R$であるとき，$R$の値を求めよ．