秋田大学
2015年 医学部 第2問
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四面体$\mathrm{OABC}$において,$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}$,$\mathrm{OA}=1$,$\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\sqrt{2}$,$\angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{AOC}={90}^\circ$,$\angle \mathrm{BOC}=\theta$とする.点$\mathrm{D}$を$\mathrm{BC}$の中点とし,$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とする.次の問いに答えよ.
(1) 点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AD}$上の点とし,$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=t:(1-t)$とするとき,$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を表せ.
(2) 点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AD}$上の動点とする.$\mathrm{OP}$の長さが最小となるとき,$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \theta$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を表せ.
(3) 点$\mathrm{Q}$を以下の$\maruichi$~$\marusan$を満たすように定める.このとき$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \theta$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を表せ.
[$\maruichi$] 四面体$\mathrm{OABC}$の体積と四面体$\mathrm{QABC}$の体積は等しい [$\maruni$] $\mathrm{QA}=\mathrm{QB}=\mathrm{QC}$ [$\marusan$] 線分$\mathrm{OQ}$は$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が定める平面と交点をもたない.
(1) 点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AD}$上の点とし,$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=t:(1-t)$とするとき,$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を表せ.
(2) 点$\mathrm{P}$を$\mathrm{AD}$上の動点とする.$\mathrm{OP}$の長さが最小となるとき,$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \theta$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を表せ.
(3) 点$\mathrm{Q}$を以下の$\maruichi$~$\marusan$を満たすように定める.このとき$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c},\ \theta$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を表せ.
[$\maruichi$] 四面体$\mathrm{OABC}$の体積と四面体$\mathrm{QABC}$の体積は等しい [$\maruni$] $\mathrm{QA}=\mathrm{QB}=\mathrm{QC}$ [$\marusan$] 線分$\mathrm{OQ}$は$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$が定める平面と交点をもたない.
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