実数$a$と行列$A=\biggl( \begin{array}{cc} a-2 & -2a \\ 4a & -2a+2 \end{array} \biggr)$がある．$A$が表す座標平面上の点の移動に関する以下の二つの条件を考える．
条件1： 原点O以外のある点Pが$A$によってP自身に移される．
条件2： 原点O以外のある点Qが$A$によって線分OQ上のQ以外の点に移される．
以下の問いに答えよ．
(ⅰ) 条件1がみたされるとき，$a$の値を求めよ．
(ⅱ) 条件1，条件2の両方がみたされるとき，$a$の値を求めよ．
(ⅲ) $a$は$\tokeini$で求めた値とする．自然数$n$に対して，点R$_n$を次のように定める． \begin{itemize}
R$_1$の座標を$(4,\ 5)$とする．
$A$によってR$_{n-1}$が移される先をR$_n \ (n \geqq 2)$とする． \end{itemize} R$_n$の座標を$(x_n,\ y_n)$とするとき，$\displaystyle x_n=\frac{12}{2^n}-2,\ y_n=\frac{16}{2^n}-3$であることを数学的帰納法を用いて証明せよ．