京都府立大学
2014年 生命環境（環境・情報） 第2問
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$p,\ q$は自然数とする．$\alpha,\ \beta$は$\alpha>\beta$を満たす$2$次方程式$x^2-x-1=0$の解とする．$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を
$a_1=0,\quad b_1=1$
$a_{n+1}=(p+q)a_n+pb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_{n+1}=pa_n+qb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定める．以下の問いに答えよ．
(1) $a_n>0 \ \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$かつ$b_n>0 \ \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$となることを示せ．
(2) $c_n=\alpha a_n+b_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$，$d_n=-a_n+\alpha b_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$c_n=(p \alpha+q)^{n-1} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$かつ$d_n=\alpha (p \beta+q)^{n-1} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(3) $p \beta+q>0$のとき，$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}>\frac{a_n}{b_n} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ．
$a_1=0,\quad b_1=1$
$a_{n+1}=(p+q)a_n+pb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_{n+1}=pa_n+qb_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定める．以下の問いに答えよ．
(1) $a_n>0 \ \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$かつ$b_n>0 \ \ (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots)$となることを示せ．
(2) $c_n=\alpha a_n+b_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$，$d_n=-a_n+\alpha b_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．$c_n=(p \alpha+q)^{n-1} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$かつ$d_n=\alpha (p \beta+q)^{n-1} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(3) $p \beta+q>0$のとき，$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}>\frac{a_n}{b_n} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ．
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