早稲田大学
2016年 教育 第3問
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座標平面上の動点$\mathrm{P}_t(x,\ y)$の座標が,$t$の関数
\[ x=e^{-t} \cos t,\quad y=e^{-t} \sin t \]
で与えられている.また$\mathrm{O}$を原点とする.実数$a,\ b$で$0<b-a<2\pi$であるものに対して,線分$\mathrm{OP}_a$と,動点$\mathrm{P}_t$が$t=a$から$t=b$まで動くときに描く曲線と,線分$\mathrm{OP}_b$とによって囲まれる部分の面積を$S(a,\ b)$とおく.次の問に答えよ.
(1) $f(t)=S(0,\ t)$とする.導関数$\displaystyle \frac{d}{dt}f(t)$を求めよ.
(2) 自然数$n$に対して,$\displaystyle U(n)=S \left( \frac{n-1}{2} \pi,\ \frac{n}{2} \pi \right)$とおく.$U(n)$を求めよ.
(3) 無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty U(n)$の和を求めよ.
(1) $f(t)=S(0,\ t)$とする.導関数$\displaystyle \frac{d}{dt}f(t)$を求めよ.
(2) 自然数$n$に対して,$\displaystyle U(n)=S \left( \frac{n-1}{2} \pi,\ \frac{n}{2} \pi \right)$とおく.$U(n)$を求めよ.
(3) 無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty U(n)$の和を求めよ.
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