近畿大学
2012年 文系 第3問
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![下図の立方体ABCD-EFGHの1辺の長さは1である.線分AHの中点をP,線分HCを1:2に内分する点をQとする.また,ベクトルAB=ベクトルa,ベクトルAD=ベクトルb,ベクトルAE=ベクトルcとおく.(プレビューでは図は省略します)(1)ベクトルPQ=\frac{[ア]}{[イ]}ベクトルa+\frac{[ウ]}{[エ]}ベクトルb+\frac{[オ]}{[カ]}ベクトルcである.(2)線分CGを3:1に内分する点をRとする.線分BR上に点Sを,ベクトルPQとベクトルDSが垂直になるようにとると,ベクトルDS=ベクトルa-\frac{[キク]}{[ケコ]}ベクトルb+\frac{[サ]}{[シ]}ベクトルcである.(3)次に,点B,C,G,Fを含む平面上に点Tを,ベクトルPQとベクトルDTが垂直になるようにとる.線分DTの長さはベクトルDT=ベクトルa-\frac{[ス]}{[セ]}ベクトルb-\frac{[ソ]}{[タ]}ベクトルcのとき,最小値\frac{\sqrt{[チツ]}}{[テ]}をとる.](./thumb/541/2298/2012_3.png)
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下図の立方体$\mathrm{ABCD}$-$\mathrm{EFGH}$の$1$辺の長さは$1$である.線分$\mathrm{AH}$の中点を$\mathrm{P}$,線分$\mathrm{HC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする.また,$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{c}$とおく.
\imgc{541_2298_2012_1}
(1) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}} \overrightarrow{a}+\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}} \overrightarrow{b}+\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}} \overrightarrow{c}$である.
(2) 線分$\mathrm{CG}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする.線分$\mathrm{BR}$上に点$\mathrm{S}$を,$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DS}}$が垂直になるようにとると, \[ \overrightarrow{\mathrm{DS}}=\overrightarrow{a}-\frac{\fbox{キク}}{\fbox{ケコ}} \overrightarrow{b}+\frac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}} \overrightarrow{c} \] である.
(3) 次に,点$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{G}$,$\mathrm{F}$を含む平面上に点$\mathrm{T}$を,$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DT}}$が垂直になるようにとる.線分$\mathrm{DT}$の長さは \[ \overrightarrow{\mathrm{DT}}=\overrightarrow{a}-\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} \overrightarrow{b}-\frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}} \overrightarrow{c} \] のとき,最小値$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{チツ}}}{\fbox{テ}}$をとる.
(1) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{\fbox{ア}}{\fbox{イ}} \overrightarrow{a}+\frac{\fbox{ウ}}{\fbox{エ}} \overrightarrow{b}+\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}} \overrightarrow{c}$である.
(2) 線分$\mathrm{CG}$を$3:1$に内分する点を$\mathrm{R}$とする.線分$\mathrm{BR}$上に点$\mathrm{S}$を,$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DS}}$が垂直になるようにとると, \[ \overrightarrow{\mathrm{DS}}=\overrightarrow{a}-\frac{\fbox{キク}}{\fbox{ケコ}} \overrightarrow{b}+\frac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}} \overrightarrow{c} \] である.
(3) 次に,点$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{G}$,$\mathrm{F}$を含む平面上に点$\mathrm{T}$を,$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{DT}}$が垂直になるようにとる.線分$\mathrm{DT}$の長さは \[ \overrightarrow{\mathrm{DT}}=\overrightarrow{a}-\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} \overrightarrow{b}-\frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}} \overrightarrow{c} \] のとき,最小値$\displaystyle \frac{\sqrt{\fbox{チツ}}}{\fbox{テ}}$をとる.
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