上智大学
2012年 法(法),外国語(フランス・イスパニア・ロシア) 第3問
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座標平面上の点$(x,\ y)$のうち,$x,\ y$がともに整数である点を格子点とよぶ.いま,格子点の集合$A$を次のように定義する.
\[ A=\{(x,\ y) \;|\; x \geqq 0,\ y \geqq 0,\ 16<x^2+y^2 \leqq 36,\ x \text{と} y \text{は整数} \} \]
(1) $A$の点は全部で$\fbox{ム}$個ある.
(2) 格子点上を$1$秒間に右または上に$1$動く点$\mathrm{P}$を考える.$\mathrm{P}$は原点から出発し,$A$の点の$1$つに到達したら停止する.このとき,$\mathrm{P}$が到達できない$A$の点は全部で$\fbox{メ}$個ある.以下,$\mathrm{P}$が到達できる$A$の部分集合を$A_0$とする.
(3) $(2)$で考えた点$\mathrm{P}$が右に動く確率と上に動く確率をともに$\displaystyle \frac{1}{2}$とする.また,各格子点における$\mathrm{P}$の動きは,その点に至るまでの動き方と独立に決まるものとする.
(ⅰ) 原点からの経路の数が最も多い$A_0$の点は$\mathrm{Q}(\fbox{モ},\ \fbox{ヤ})$であり,$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}$に到達する確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ユ}}{\fbox{ヨ}}$である.
(ⅱ) 原点からの経路の数が$\mathrm{Q}$の次に多い$A_0$の点は全部で$\fbox{ラ}$個あり,それらの点のいずれかで$\mathrm{P}$が停止する確率は$\displaystyle \frac{\fbox{リ}}{\fbox{ル}}$である.
(ⅲ) $\mathrm{P}$が$A_0$の点のいずれかで停止するまでの時間の期待値は$\displaystyle \frac{\fbox{レ}}{\fbox{ロ}}$秒である.
(1) $A$の点は全部で$\fbox{ム}$個ある.
(2) 格子点上を$1$秒間に右または上に$1$動く点$\mathrm{P}$を考える.$\mathrm{P}$は原点から出発し,$A$の点の$1$つに到達したら停止する.このとき,$\mathrm{P}$が到達できない$A$の点は全部で$\fbox{メ}$個ある.以下,$\mathrm{P}$が到達できる$A$の部分集合を$A_0$とする.
(3) $(2)$で考えた点$\mathrm{P}$が右に動く確率と上に動く確率をともに$\displaystyle \frac{1}{2}$とする.また,各格子点における$\mathrm{P}$の動きは,その点に至るまでの動き方と独立に決まるものとする.
(ⅰ) 原点からの経路の数が最も多い$A_0$の点は$\mathrm{Q}(\fbox{モ},\ \fbox{ヤ})$であり,$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}$に到達する確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ユ}}{\fbox{ヨ}}$である.
(ⅱ) 原点からの経路の数が$\mathrm{Q}$の次に多い$A_0$の点は全部で$\fbox{ラ}$個あり,それらの点のいずれかで$\mathrm{P}$が停止する確率は$\displaystyle \frac{\fbox{リ}}{\fbox{ル}}$である.
(ⅲ) $\mathrm{P}$が$A_0$の点のいずれかで停止するまでの時間の期待値は$\displaystyle \frac{\fbox{レ}}{\fbox{ロ}}$秒である.
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