筑波大学
2015年 理系 第2問
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半径$1$の円を内接円とする三角形$\mathrm{ABC}$が,辺$\mathrm{AB}$と辺$\mathrm{AC}$の長さが等しい二等辺三角形であるとする.辺$\mathrm{BC}$,$\mathrm{CA}$,$\mathrm{AB}$と内接円の接点をそれぞれ$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$とする.また,$\alpha=\angle \mathrm{CAB}$,$\beta=\angle \mathrm{ABC}$とし,三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$S$とする.
(1) 線分$\mathrm{AQ}$の長さを$\alpha$を用いて表し,線分$\mathrm{QC}$の長さを$\beta$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle t=\tan \frac{\beta}{2}$とおく.このとき,$S$を$t$を用いて表せ.
(3) 不等式$S \geqq 3 \sqrt{3}$が成り立つことを示せ.さらに,等号が成立するのは,三角形$\mathrm{ABC}$が正三角形のときに限ることを示せ.
(1) 線分$\mathrm{AQ}$の長さを$\alpha$を用いて表し,線分$\mathrm{QC}$の長さを$\beta$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle t=\tan \frac{\beta}{2}$とおく.このとき,$S$を$t$を用いて表せ.
(3) 不等式$S \geqq 3 \sqrt{3}$が成り立つことを示せ.さらに,等号が成立するのは,三角形$\mathrm{ABC}$が正三角形のときに限ることを示せ.
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