東京大学
2012年 理系 第6問
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$2\times2$行列$P=\biggl( \begin{array}{cc}
p & q \\
r & s
\end{array} \biggr)$に対して
\[ \mathrm{Tr}(P)=p+s \]
と定める.\\
\quad $a$,$b$,$c$は$a\geqq b>0$,$0\leqq c\leqq1$を満たす実数とする.行列$A$,$B$,$C$,$D$を次で定める.
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & 0 \\
0 & b
\end{array} \biggr),\ B= \biggl( \begin{array}{cc}
b & 0 \\
0 & a
\end{array} \biggr),\ C= \biggl( \begin{array}{cc}
a^c & 0 \\
0 & b^c
\end{array} \biggr),\ D= \biggl( \begin{array}{cc}
b^{1-c} & 0 \\
0 & a^{1-c}
\end{array} \biggr) \]
また実数$x$に対し$U(x)= \biggl( \begin{array}{cc}
\cos x & -\sin x \\
\sin x & \cos x
\end{array} \biggr)$とする.このとき以下の問いに答えよ.
(1) 各実数$t$に対して,$x$の関数 \[ f(x)=\mathrm{Tr}\Biggl(\Bigl(U(t)AU(-t)-B \Bigr)U(x) \biggl( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \biggr)U(-x)\Biggr) \] の最大値$m(t)$を求めよ.(ただし,最大値をとる$x$を求める必要はない.)
(2) すべての実数$t$に対し \[ 2\mathrm{Tr}(U(t)CU(-t)D)\geqq \mathrm{Tr}(U(t)AU(-t)+B)-m(t) \] が成り立つことを示せ.
(1) 各実数$t$に対して,$x$の関数 \[ f(x)=\mathrm{Tr}\Biggl(\Bigl(U(t)AU(-t)-B \Bigr)U(x) \biggl( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \biggr)U(-x)\Biggr) \] の最大値$m(t)$を求めよ.(ただし,最大値をとる$x$を求める必要はない.)
(2) すべての実数$t$に対し \[ 2\mathrm{Tr}(U(t)CU(-t)D)\geqq \mathrm{Tr}(U(t)AU(-t)+B)-m(t) \] が成り立つことを示せ.
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