次の条件によって定められる関数$f_n(x) \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を考える． \[ f_1(x)=(3x+5)e^{2x},\quad f_{n+1}(x)={f_n}^{\prime}(x) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1) $f_2(x)=(\fbox{ア}x+\fbox{イウ})e^{2x}$である．
(2) $f_n(x)=(a_nx+b_n)e^{2x}$（$a_n,\ b_n$は定数）とおくと， \[ a_1=\fbox{エ},\quad b_1=\fbox{オ},\quad \left\{ \begin{array}{l} a_{n+1}=\fbox{カ}a_n \\ b_{n+1}=a_n+\fbox{キ}b_n \end{array} \right. \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] である．
(3) $a_n=\fbox{ク} \cdot {\fbox{ケ}}^{n-1} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．
(4) $\displaystyle c_n=\frac{b_n}{2^n}$とおくと，$\displaystyle c_{n+1}=c_n+\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．よって，$\displaystyle c_n=\frac{\fbox{シ}n+\fbox{ス}}{\fbox{セ}}$，つまり$b_n={\fbox{ソ}}^{n-2}(\fbox{タ}n+\fbox{チ}) \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$である．ゆえに \[ f_n(x)={\fbox{ツ}}^{n-2}(\fbox{テ}x+\fbox{ト}n+\fbox{ナ})e^{2x} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] である．