横浜国立大学
2012年 経済 第1問
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$xy$平面上に$n$個の点P$_k(x_k,\ y_k) \ \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots,\ n)$がある.
\[ a=\sum_{k=1}^n x_k^2, \quad b=\sum_{k=1}^n y_k^2, \quad c= \sum_{k=1}^n x_ky_k \]
とおく.さらに,P$_k$と直線$\ell: x\cos \theta + y\sin \theta = 0$の距離を$d_k$とし,
\[ L = \sum_{k=1}^n d_k^2 \]
とおく.次の問いに答えよ.
(1) $L$を$a,\ b,\ c,\ \theta$を用いて表せ.
(2) $\theta$が$0 \leqq \theta < \pi$の範囲を動くとき,$L$の最大値と最小値を$a,\ b,\ c$を用いて表せ.
(3) $a \neq b$または$c \neq 0$のとき,$L$を最大にする$\ell$を$\ell_1$,最小にする$\ell$を$\ell_2$とする.$\ell_1$と$\ell_2$は直交することを示せ.
(1) $L$を$a,\ b,\ c,\ \theta$を用いて表せ.
(2) $\theta$が$0 \leqq \theta < \pi$の範囲を動くとき,$L$の最大値と最小値を$a,\ b,\ c$を用いて表せ.
(3) $a \neq b$または$c \neq 0$のとき,$L$を最大にする$\ell$を$\ell_1$,最小にする$\ell$を$\ell_2$とする.$\ell_1$と$\ell_2$は直交することを示せ.
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