長崎大学
2012年 理系 第6問
6
6
次の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle I_1=\int_0^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+1}$とする.$x=\tan \theta$とおくことにより,$\displaystyle I_1=\frac{\pi}{3}$を示せ.
(2) (1)の$I_1$を部分積分して,$I_1$と$\displaystyle I_2=\int_0^{\sqrt{3}}\frac{dx}{(x^2+1)^2}$の関係式を導き,$I_2$の値を求めよ.
(3) $t=x+\sqrt{x^2+1}$とおくことにより,不定積分$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$を求めよ.
(4) 合成関数の微分法を用いて,関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数を求めよ.
(5) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{1}{\sqrt{n^2+1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}} \right\}$を求めよ.
(1) $\displaystyle I_1=\int_0^{\sqrt{3}} \frac{dx}{x^2+1}$とする.$x=\tan \theta$とおくことにより,$\displaystyle I_1=\frac{\pi}{3}$を示せ.
(2) (1)の$I_1$を部分積分して,$I_1$と$\displaystyle I_2=\int_0^{\sqrt{3}}\frac{dx}{(x^2+1)^2}$の関係式を導き,$I_2$の値を求めよ.
(3) $t=x+\sqrt{x^2+1}$とおくことにより,不定積分$\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}$を求めよ.
(4) 合成関数の微分法を用いて,関数$y=\log (x+\sqrt{x^2+1})$の導関数を求めよ.
(5) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{1}{\sqrt{n^2+1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}} \right\}$を求めよ.
類題(関連度順)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。