愛媛大学
2016年 理学部・工学部 第4問
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$z_0$を虚数単位$i$と異なる複素数とする.複素数$z_n$を
\[ z_n=i+\frac{\sqrt{2}(z_{n-1}-i)(1+i)}{2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定める.
(1) すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ.
(2) $\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ.ただし,$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする.
(3) $z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ.
(4) 複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする.$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$,$\cdots$,$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする.$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ.
(1) すべての自然数$n$に対し$z_n \neq i$であることを示せ.
(2) $\displaystyle \frac{z_n-i}{z_{n-1}-i}$の絶対値$r$と偏角$\theta$を求めよ.ただし,$\theta$の範囲は$0 \leqq \theta<2\pi$とする.
(3) $z_m=z_0$となる最小の自然数$m$を求めよ.
(4) 複素数平面上において$z_n$の表す点を$\mathrm{P}_n$とする.$(3)$で求めた$m$に対し$m$本の線分$\mathrm{P}_0 \mathrm{P}_1$,$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$,$\cdots$,$\mathrm{P}_{m-1} \mathrm{P}_m$で囲まれる図形の面積を$S$とする.$z_0=1-i$のとき$S$の値を求めよ.
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