早稲田大学
2011年 スポーツ科学学部 第6問
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図のように,点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円に内接する正$9$角形の頂点$\mathrm{A}_1$,$\mathrm{A}_2$,$\cdots$,$\mathrm{A}_9$から,長さが最大となる対角線を$2$本ずつ引き,それらの交点を$\mathrm{B}_1$,$\mathrm{B}_2$,$\cdots$,$\mathrm{B}_9$とする.これらの点を$\mathrm{A}_1 \to \mathrm{B}_1 \to \mathrm{A}_2 \to \mathrm{B}_2 \to \cdots \to \mathrm{A}_9 \to \mathrm{B}_9 \to \mathrm{A}_1$の順に線分で結んでできた図形を星型$S$とよぶ.ここで,$\tan 10^\circ=a$とするとき,$\triangle \mathrm{OA}_1 \mathrm{B}_1$の辺$\mathrm{OA_1}$を底辺としたときの高さを$h$とすると
\[ h=\frac{\fbox{ナ}a}{\fbox{ニ}-a^{\fbox{ヌ}}} \]
である.よって,星型$S$の面積は$\fbox{ネ}h$である.
\imgc{304_13_2011_1}
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