上智大学
2015年 法(地球),経済(経営),総合(社会福祉) 第1問
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次の問いに答えよ.
(1) 座標平面において,$1$次関数$y=4x+2$が表す直線を$\ell$とし,$\ell$上に点$\mathrm{P}(1,\ 6)$をとる.また,$2$次関数$y=f(x)$が表す放物線を$C$とする.
(ⅰ) $C$が点$\mathrm{P}$で$\ell$と接し,かつ$C$が点$(0,\ 1)$を通るとき, \[ f(x)=\fbox{ア}x^2+\fbox{イ}x+\fbox{ウ} \] である.
(ⅱ) $C$が点$\mathrm{P}$で$\ell$と接するとき,$C$の頂点は直線 \[ y=\fbox{エ}x+\fbox{オ} \] 上に存在する。
(2) 複素数$z$の虚部を$\mathrm{Im}(z)$で表すことにする.
$2$次方程式$x^2-4x+9=0$の異なる$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とし,$x^2-2x+2=0$の異なる$2$つの解を$\alpha^\prime,\ \beta^\prime$とする.ただし,$\mathrm{Im}(\alpha)>\mathrm{Im}(\beta)$および$\mathrm{Im}(\alpha^\prime)>\mathrm{Im}(\beta^\prime)$とする.このとき,$2$数$\displaystyle \frac{\alpha}{\alpha^\prime},\ \frac{\beta}{\beta^\prime}$を解とする$2$次方程式の$1$つは, \[ x^2+\left( \fbox{カ}+\fbox{キ} \sqrt{\fbox{ク}} \right)x+\frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}}=0 \] である.
(1) 座標平面において,$1$次関数$y=4x+2$が表す直線を$\ell$とし,$\ell$上に点$\mathrm{P}(1,\ 6)$をとる.また,$2$次関数$y=f(x)$が表す放物線を$C$とする.
(ⅰ) $C$が点$\mathrm{P}$で$\ell$と接し,かつ$C$が点$(0,\ 1)$を通るとき, \[ f(x)=\fbox{ア}x^2+\fbox{イ}x+\fbox{ウ} \] である.
(ⅱ) $C$が点$\mathrm{P}$で$\ell$と接するとき,$C$の頂点は直線 \[ y=\fbox{エ}x+\fbox{オ} \] 上に存在する。
(2) 複素数$z$の虚部を$\mathrm{Im}(z)$で表すことにする.
$2$次方程式$x^2-4x+9=0$の異なる$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とし,$x^2-2x+2=0$の異なる$2$つの解を$\alpha^\prime,\ \beta^\prime$とする.ただし,$\mathrm{Im}(\alpha)>\mathrm{Im}(\beta)$および$\mathrm{Im}(\alpha^\prime)>\mathrm{Im}(\beta^\prime)$とする.このとき,$2$数$\displaystyle \frac{\alpha}{\alpha^\prime},\ \frac{\beta}{\beta^\prime}$を解とする$2$次方程式の$1$つは, \[ x^2+\left( \fbox{カ}+\fbox{キ} \sqrt{\fbox{ク}} \right)x+\frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コ}}=0 \] である.
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