茨城大学
2014年 工学部 第3問
3
![OA=√3，OB=2，AB=√5となる三角形OABがある．三角形OABの内部の点Cから辺OA，OBに下ろした垂線の足をそれぞれP，Qとすると，OP:PA=2:1,OQ:QB=1:2であった．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとおくとき，以下の各問に答えよ．(1)内積ベクトルa・ベクトルb，ベクトルc・ベクトルa，ベクトルc・ベクトルbをそれぞれ求めよ．(2)ベクトルcをベクトルa，ベクトルbを用いて表せ．(3)点Cから辺ABに下ろした垂線の足をRとするとき，AR:RBを求めよ．\mon[注]点Xから辺YZに下ろした垂線の足とは，点Xから辺YZに下ろした垂線と辺YZとの交点のことである．](./thumb/85/2191/2014_3.png)
3
$\mathrm{OA}=\sqrt{3}$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{AB}=\sqrt{5}$となる三角形$\mathrm{OAB}$がある．三角形$\mathrm{OAB}$の内部の点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$に下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とすると，
\[ \mathrm{OP}:\mathrm{PA}=2:1,\quad \mathrm{OQ}:\mathrm{QB}=1:2 \]
であった．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき，以下の各問に答えよ．
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b}$をそれぞれ求めよ．
(2) $\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3) 点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}$を求めよ．
[注] 点$\mathrm{X}$から辺$\mathrm{YZ}$に下ろした垂線の足とは，点$\mathrm{X}$から辺$\mathrm{YZ}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{YZ}$との交点のことである．
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{b}$をそれぞれ求めよ．
(2) $\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3) 点$\mathrm{C}$から辺$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{AR}:\mathrm{RB}$を求めよ．
[注] 点$\mathrm{X}$から辺$\mathrm{YZ}$に下ろした垂線の足とは，点$\mathrm{X}$から辺$\mathrm{YZ}$に下ろした垂線と辺$\mathrm{YZ}$との交点のことである．
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