山形大学
2011年 理学部(数理) 第4問
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![媒介変数tを用いてx=t^2,y=t^3と表される曲線をCとする.ただし,tは実数全体を動くとする.また,実数a(a≠0)に対して,点(a^2,a^3)におけるCの接線をℓ_aとする.このとき,次の問に答えよ.(1)ℓ_aの方程式を求めよ.(2)曲線Cの0≦t≦1に対応する部分の長さを求めよ.ただし,曲線x=f(t),y=g(t)のα≦t≦βに対応する部分の長さは∫_{α}^{β}\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dtであたえられる.(3)曲線Cと直線ℓ_1で囲まれた図形の面積を求めよ.(4)曲線Cと直線ℓ_1で囲まれた図形をy軸の周りに1回転してできる回転体の体積を求めよ.](./thumb/72/2157/2011_4.png)
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媒介変数$t$を用いて$x=t^2,\ y=t^3$と表される曲線を$C$とする.ただし,$t$は実数全体を動くとする.また,実数$a \ (a \neq 0)$に対して,点$(a^2,\ a^3)$における$C$の接線を$\ell_a$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) $\ell_a$の方程式を求めよ.
(2) 曲線$C$の$0 \leqq t \leqq 1$に対応する部分の長さを求めよ.ただし,曲線$x=f(t),\ y=g(t)$の$\alpha \leqq t \leqq \beta$に対応する部分の長さは$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$であたえられる.
(3) 曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形の面積を求めよ.
(4) 曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
(1) $\ell_a$の方程式を求めよ.
(2) 曲線$C$の$0 \leqq t \leqq 1$に対応する部分の長さを求めよ.ただし,曲線$x=f(t),\ y=g(t)$の$\alpha \leqq t \leqq \beta$に対応する部分の長さは$\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{\left( \frac{dx}{dt} \right)^2+\left( \frac{dy}{dt} \right)^2} \, dt$であたえられる.
(3) 曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形の面積を求めよ.
(4) 曲線$C$と直線$\ell_1$で囲まれた図形を$y$軸の周りに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ.
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