京都教育大学
2012年 教育学部 第4問
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![空間において成分表示された3つのベクトルをベクトルa=(\frac{√3+1}{2},1,\frac{√3-1}{2}),ベクトルb=(1,0,1),ベクトルc=(1,0,-1)とする.これに対して原点Oに関する位置ベクトルがベクトルa+(cost)ベクトルb+(sint)ベクトルcである点Pを考える.次の問に答えよ.(1)内積ベクトルa・ベクトルa,ベクトルa・ベクトルb,ベクトルa・ベクトルc,ベクトルb・ベクトルb,ベクトルb・ベクトルc,ベクトルc・ベクトルcをそれぞれ計算せよ.(2)tが0から2πまで動くとき,|ベクトルOP|の最大値,最小値とそのときのtの値をそれぞれ求めよ.](./thumb/473/1279/2012_4.png)
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空間において成分表示された$3$つのベクトルを
\[ \overrightarrow{a}=\left( \frac{\sqrt{3}+1}{2},\ 1,\ \frac{\sqrt{3}-1}{2} \right),\quad \overrightarrow{b}=(1,\ 0,\ 1),\quad \overrightarrow{c}=(1,\ 0,\ -1) \]
とする.これに対して原点$\mathrm{O}$に関する位置ベクトルが
\[ \overrightarrow{a}+(\cos t) \overrightarrow{b}+(\sin t) \overrightarrow{c} \]
である点$\mathrm{P}$を考える.次の問に答えよ.
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{c}$をそれぞれ計算せよ.
(2) $t$が$0$から$2\pi$まで動くとき,$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最大値,最小値とそのときの$t$の値をそれぞれ求めよ.
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{c}$をそれぞれ計算せよ.
(2) $t$が$0$から$2\pi$まで動くとき,$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の最大値,最小値とそのときの$t$の値をそれぞれ求めよ.
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