豊橋技術科学大学
2012年 工学部 第1問
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座標平面上の点を,原点のまわりに角$\theta$だけ回転移動させる一次変換を表す$2$行$2$列の行列を$A$とする.以下の問いに答えよ.
(1) 座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって変換された点を点$\mathrm{P}_1$とする.$2$点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$の間の長さを求めよ.
(2) $A^n=E$となる条件を示せ.ただし,$n$は$2$以上の整数,$0 \leqq \theta \leqq \pi$,$E$は単位行列とする.
(3) 座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって$l$回変換された点を点$\mathrm{P}_l$とする.点$\mathrm{P}_0$が$A$によって$n$回変換されると,原点の周りを$1$周して元の点$\mathrm{P}_0$に戻るとする.$n$個の点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\cdots$,$\mathrm{P}_{n-1}$で囲まれた$n$角形の面積$S_n$を求めよ.また,$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$を用いて,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ.
(4) 座標平面上の点を,原点からの方向を変えずに距離を$k$倍する一次変換を表す$2$行$2$列の行列を$B$とする.座標平面上の点$\mathrm{Q}_{i-1}$が一次変換$AB$によって点$\mathrm{Q}_i$に移るとする.点$\mathrm{Q}_0$を$(c_0,\ d_0)$とするとき,$2$点$\mathrm{Q}_{i-1}$,$\mathrm{Q}_i$の間の長さ$m_i$を$k,\ \theta,\ c_0,\ d_0$を用いて表せ.
(1) 座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって変換された点を点$\mathrm{P}_1$とする.$2$点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$の間の長さを求めよ.
(2) $A^n=E$となる条件を示せ.ただし,$n$は$2$以上の整数,$0 \leqq \theta \leqq \pi$,$E$は単位行列とする.
(3) 座標平面上の点$\mathrm{P}_0(a,\ b)$が$A$によって$l$回変換された点を点$\mathrm{P}_l$とする.点$\mathrm{P}_0$が$A$によって$n$回変換されると,原点の周りを$1$周して元の点$\mathrm{P}_0$に戻るとする.$n$個の点$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$,$\cdots$,$\mathrm{P}_{n-1}$で囲まれた$n$角形の面積$S_n$を求めよ.また,$\displaystyle \lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$を用いて,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ.
(4) 座標平面上の点を,原点からの方向を変えずに距離を$k$倍する一次変換を表す$2$行$2$列の行列を$B$とする.座標平面上の点$\mathrm{Q}_{i-1}$が一次変換$AB$によって点$\mathrm{Q}_i$に移るとする.点$\mathrm{Q}_0$を$(c_0,\ d_0)$とするとき,$2$点$\mathrm{Q}_{i-1}$,$\mathrm{Q}_i$の間の長さ$m_i$を$k,\ \theta,\ c_0,\ d_0$を用いて表せ.
類題(関連度順)
コメント(2件)
2015-06-19 05:02:16
つくりました。単元は行列に分類しましたが、あまり行列的なことはしませんでした。ちなみに旧課程の問題です。 |
2015-06-18 21:30:27
この問題の解答を探しています。宜しくお願いします。 |
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