同志社大学
2013年 理系全学部日程 第1問
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次の$\fbox{}$に適する数または式を記入せよ.
サッカーの国際大会に日本,$\mathrm{A}$国および$\mathrm{B}$国の$3$ヶ国が参加し,優勝国は次のように決定される.
(ⅰ) $3$つの国のうち$2$つの国が試合をする.勝った国が残りの$1$つの国と試合をし, $2$連勝する国が生じるまで試合を繰り返す.この連勝国を優勝国とし,大会を終了する.
(ⅱ) 各試合において,引き分けは無く,必ず勝敗が決まる.
日本が$\mathrm{A}$国,$\mathrm{B}$国に勝つ確率をそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{1}{3}$とし,$\mathrm{A}$国が$\mathrm{B}$国に勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$とする.第$1$戦は日本と$\mathrm{A}$国が対戦する.
第$2$戦で日本が優勝する確率は$\fbox{}$であり,第$3$戦で日本が優勝する確率は$\fbox{}$であり,第$4$戦で日本が優勝する確率は$\fbox{}$であり,第$5$戦で日本が優勝する確率は$\fbox{}$である.ゆえに第$3n+2$戦($n$は$0$以上の整数)で日本が優勝する確率$p_n$は$p_n=\fbox{}$となる.このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n p_k=\fbox{}$となる.一方,第$7$戦で日本が優勝する確率は$\fbox{}$となる.第$3n+1$戦($n$は$1$以上の整数)で日本が優勝する確率$q_n$は$q_n=\fbox{}$となる.このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n q_k=\fbox{}$となる.また第$3n$戦($n$は$1$以上の整数)で日本が優勝する確率$r_n$は$r_n=\fbox{}$となる.
サッカーの国際大会に日本,$\mathrm{A}$国および$\mathrm{B}$国の$3$ヶ国が参加し,優勝国は次のように決定される.
(ⅰ) $3$つの国のうち$2$つの国が試合をする.勝った国が残りの$1$つの国と試合をし, $2$連勝する国が生じるまで試合を繰り返す.この連勝国を優勝国とし,大会を終了する.
(ⅱ) 各試合において,引き分けは無く,必ず勝敗が決まる.
日本が$\mathrm{A}$国,$\mathrm{B}$国に勝つ確率をそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{1}{3}$とし,$\mathrm{A}$国が$\mathrm{B}$国に勝つ確率は$\displaystyle \frac{2}{3}$とする.第$1$戦は日本と$\mathrm{A}$国が対戦する.
第$2$戦で日本が優勝する確率は$\fbox{}$であり,第$3$戦で日本が優勝する確率は$\fbox{}$であり,第$4$戦で日本が優勝する確率は$\fbox{}$であり,第$5$戦で日本が優勝する確率は$\fbox{}$である.ゆえに第$3n+2$戦($n$は$0$以上の整数)で日本が優勝する確率$p_n$は$p_n=\fbox{}$となる.このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^n p_k=\fbox{}$となる.一方,第$7$戦で日本が優勝する確率は$\fbox{}$となる.第$3n+1$戦($n$は$1$以上の整数)で日本が優勝する確率$q_n$は$q_n=\fbox{}$となる.このとき$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n q_k=\fbox{}$となる.また第$3n$戦($n$は$1$以上の整数)で日本が優勝する確率$r_n$は$r_n=\fbox{}$となる.
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