岡山県立大学
2013年 理系 第2問
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![放物線C:y=x^2上に2点A(a,a^2),B(b,b^2)がある.ただし,a<bとする.放物線Cと線分ABが囲む部分の面積をSとする.次の問いに答えよ.(1)S=\frac{(b-a)^3}{6}であることを示せ.(2)2点A,Bを固定する.放物線C上の点P(t,t^2)に対して,放物線Cと線分APが囲む部分の面積をS_1,放物線Cと線分BPが囲む部分の面積をS_2とする.a<t<bのとき,S_1+S_2の最小値を求めよ.(3)常にS=9/2であるように,2点A,Bが放物線C上を動く.このとき,線分ABの中点の軌跡の方程式を求めよ.](./thumb/613/2823/2013_2.png)
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放物線$C:y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$,$\mathrm{B}(b,\ b^2)$がある.ただし,$a<b$とする.放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$が囲む部分の面積を$S$とする.次の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle S=\frac{(b-a)^3}{6}$であることを示せ.
(2) $2$点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$を固定する.放物線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$に対して,放物線$C$と線分$\mathrm{AP}$が囲む部分の面積を$S_1$,放物線$C$と線分$\mathrm{BP}$が囲む部分の面積を$S_2$とする.$a<t<b$のとき,$S_1+S_2$の最小値を求めよ.
(3) 常に$\displaystyle S=\frac{9}{2}$であるように,$2$点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$が放物線$C$上を動く.このとき,線分$\mathrm{AB}$の中点の軌跡の方程式を求めよ.
(1) $\displaystyle S=\frac{(b-a)^3}{6}$であることを示せ.
(2) $2$点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$を固定する.放物線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ t^2)$に対して,放物線$C$と線分$\mathrm{AP}$が囲む部分の面積を$S_1$,放物線$C$と線分$\mathrm{BP}$が囲む部分の面積を$S_2$とする.$a<t<b$のとき,$S_1+S_2$の最小値を求めよ.
(3) 常に$\displaystyle S=\frac{9}{2}$であるように,$2$点$\mathrm{A},\ \mathrm{B}$が放物線$C$上を動く.このとき,線分$\mathrm{AB}$の中点の軌跡の方程式を求めよ.
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