座標平面上で原点$\mathrm{O}$を中心に一定の角$\theta$で回転移動する$1$次変換を$f$とし，一定の正の数$r$で各点$(x,\ y)$を点$(rx,\ ry)$に移す相似変換を$g$とする．また，$g$と$f$の合成変換$g \circ f$を表す行列を$K(r,\ \theta)$とする．原点$\mathrm{O}$と異なる座標平面上の点$\mathrm{P}(a,\ b)$に対して，点$\mathrm{Q}(c,\ d)$を次で定める： \[ \left( \begin{array}{c} c \\ d \end{array} \right)=K(r,\ \theta) \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right) \] 次の問に答えなさい．
(1) $K(r,\ \theta)$を求めなさい．$r$を$a,\ b,\ c,\ d$を用いて表しなさい．
(2) $0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$ad-bc>0$であることを示しなさい．
(3) $0^\circ<\theta<180^\circ$ならば，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}(ad-bc)$に等しくなる．このことを用いて，図のように，点$\mathrm{P}_1$，$\mathrm{P}_2$，$\mathrm{P}_3$を時計の針が回る方向と反対回りに順番に配置した三角形$\triangle \mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の面積が \[ \frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 (x_i-x_{i+1})(y_i+y_{i+1}) \] に等しいことを示しなさい．ただし，$x_4=x_1$，$y_4=y_1$とする． \imgc{683_3132_2011_1}