中部大学
2014年 工学部 第2問
2
2
$0<x<\pi$で定義された関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sin x}$について，次の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle f \left( \frac{\pi}{3} \right)$を求めよ．
(2) $f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．また，$f^{\prime\prime}(x)>0$となることを示せ．これらの結果を増減表に書き，曲線$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3) $0 \leqq t \leqq 1$に対し，$0<a \leqq x<\pi$を満たす任意の$a$と$x$を考えると， \[ tf(a)+(1-t)f(x) \geqq f(at+(1-t)x) \] が成り立つことを示せ．
(4) 三角形$\mathrm{ABC}$のそれぞれの角を$A,\ B,\ C$とすると$\displaystyle \frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C} \geqq 2 \sqrt{3}$が成り立つことを証明せよ．
(1) $\displaystyle f \left( \frac{\pi}{3} \right)$を求めよ．
(2) $f^\prime(x)$と$f^{\prime\prime}(x)$を求めよ．また，$f^{\prime\prime}(x)>0$となることを示せ．これらの結果を増減表に書き，曲線$y=f(x)$のグラフの概形をかけ．
(3) $0 \leqq t \leqq 1$に対し，$0<a \leqq x<\pi$を満たす任意の$a$と$x$を考えると， \[ tf(a)+(1-t)f(x) \geqq f(at+(1-t)x) \] が成り立つことを示せ．
(4) 三角形$\mathrm{ABC}$のそれぞれの角を$A,\ B,\ C$とすると$\displaystyle \frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C} \geqq 2 \sqrt{3}$が成り立つことを証明せよ．
つぶやく
類題（関連度順）
コメント（0件）
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。
