千葉大学
2014年 医学部 第1問
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袋の中に,赤玉が$3$個,白玉が$7$個が入っている.袋から玉を無作為に$1$つ取り出し,色を確認してから,再び袋に戻すという試行を行う.この試行を$N$回繰り返したときに,赤玉を$A$回(ただし$0 \leqq A \leqq N$)取り出す確率を$p(N,\ A)$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 確率$p(N,\ A)$を$N$と$A$を用いて表せ.
(2) $N$が$10$の倍数,すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする.確率$p(10n,\ 0)$,$p(10n,\ 1)$,$\cdots$,$p(10n,\ 10n)$のうち,一番大きな値は$p(10n,\ 3n)$であることを次の手順により証明せよ.
(ⅰ) $0$以上の整数$a$,自然数$b$に対して,$\displaystyle \frac{b!}{a!} \leqq b^{b-a}$を示す.ただし$0!=1$とする.
(ⅱ) $0$以上$10n$以下の整数$m$に対して,$\displaystyle \frac{p(10n,\ m)}{p(10n,\ 3n)} \leqq 1$を示す.
(1) 確率$p(N,\ A)$を$N$と$A$を用いて表せ.
(2) $N$が$10$の倍数,すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする.確率$p(10n,\ 0)$,$p(10n,\ 1)$,$\cdots$,$p(10n,\ 10n)$のうち,一番大きな値は$p(10n,\ 3n)$であることを次の手順により証明せよ.
(ⅰ) $0$以上の整数$a$,自然数$b$に対して,$\displaystyle \frac{b!}{a!} \leqq b^{b-a}$を示す.ただし$0!=1$とする.
(ⅱ) $0$以上$10n$以下の整数$m$に対して,$\displaystyle \frac{p(10n,\ m)}{p(10n,\ 3n)} \leqq 1$を示す.
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