信州大学
2015年 工学部 第4問
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![次の問いに答えよ.(1)a_n=1/π∫_{-π}^{π}xsinnxdx(n=1,2,3,・・・)とおくと,無限級数Σ_{n=1}^∞a_n^2は収束し,その和は1/π∫_{-π}^{π}x^2dxであることが知られている.これを用いて,無限級数Σ_{n=1}^∞\frac{1}{n^2}の和を求めよ.(2)等式\frac{1}{x^2(x+1)}=a/x+\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x+1}がxについての恒等式となるように,定数a,b,cの値を定めよ.(3)無限級数Σ_{n=1}^∞\frac{1}{n^2(n+1)}の収束,発散について調べ,収束するときはその和を求めよ.](./thumb/377/1604/2015_4.png)
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次の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx \, dx \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと,無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^2$は収束し,その和は$\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx$であることが知られている.これを用いて,無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$の和を求めよ.
(2) 等式$\displaystyle \frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x+1}$が$x$についての恒等式となるように,定数$a,\ b,\ c$の値を定めよ.
(3) 無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2(n+1)}$の収束,発散について調べ,収束するときはその和を求めよ.
(1) $\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin nx \, dx \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおくと,無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n^2$は収束し,その和は$\displaystyle \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \, dx$であることが知られている.これを用いて,無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$の和を求めよ.
(2) 等式$\displaystyle \frac{1}{x^2(x+1)}=\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x+1}$が$x$についての恒等式となるように,定数$a,\ b,\ c$の値を定めよ.
(3) 無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2(n+1)}$の収束,発散について調べ,収束するときはその和を求めよ.
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