大阪教育大学
2013年 理系 第1問
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![次の問いに答えよ.(1)t=tanx/2とおくとき,次の等式が成り立つことを示せ.(i)sinx=\frac{2t}{1+t^2}(ii)cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}(iii)tanx=\frac{2t}{1-t^2}(2)a,bを実数とする.xを未知数とする方程式asinx+bcosx+1=0が,-π<x<πの範囲に相異なる二つの解をもつとする.(i)a,bの満たすべき条件を求めよ.(ii)二つの解をα,βとするとき,tan\frac{α+β}{2}をa,bを用いて表せ.(3)次の定積分を求めよ.∫_0^{π/2}\frac{1}{sinx+cosx+1}dx](./thumb/505/2612/2013_1.png)
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次の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle t=\tan \frac{x}{2}$とおくとき,次の等式が成り立つことを示せ. \[ \tokeiichi \ \ \sin x=\frac{2t}{1+t^2} \quad \tokeini \ \ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \quad \tokeisan \ \ \tan x=\frac{2t}{1-t^2} \]
(2) $a,\ b$を実数とする.$x$を未知数とする方程式$a \sin x+b \cos x+1=0$が,$-\pi<x<\pi$の範囲に相異なる二つの解をもつとする.
(ⅰ) $a,\ b$の満たすべき条件を求めよ.
(ⅱ) 二つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき,$\displaystyle \tan \frac{\alpha+\beta}{2}$を$a,\ b$を用いて表せ.
(3) 次の定積分を求めよ. \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x+\cos x+1} \, dx \]
(1) $\displaystyle t=\tan \frac{x}{2}$とおくとき,次の等式が成り立つことを示せ. \[ \tokeiichi \ \ \sin x=\frac{2t}{1+t^2} \quad \tokeini \ \ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \quad \tokeisan \ \ \tan x=\frac{2t}{1-t^2} \]
(2) $a,\ b$を実数とする.$x$を未知数とする方程式$a \sin x+b \cos x+1=0$が,$-\pi<x<\pi$の範囲に相異なる二つの解をもつとする.
(ⅰ) $a,\ b$の満たすべき条件を求めよ.
(ⅱ) 二つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき,$\displaystyle \tan \frac{\alpha+\beta}{2}$を$a,\ b$を用いて表せ.
(3) 次の定積分を求めよ. \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x+\cos x+1} \, dx \]
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