$2$つの関数を \[ f_0(x)=\frac{x}{2},\quad f_1(x)=\frac{x+1}{2} \] とおく．$\displaystyle x_0=\frac{1}{2}$から始め，各$n=1,\ 2,\ \cdots$について，それぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で$x_n=f_0(x_{n-1})$または$x_n=f_1(x_{n-1})$と定める．このとき，$\displaystyle x_n<\frac{2}{3}$となる確率$P_n$を求めよ．