京都大学
2014年 文系 第3問
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座標空間における次の$3$つの直線$\ell$，$m$，$n$を考える：
$\ell$は点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ -2)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{u}=(2,\ 1,\ -1)$に平行な直線である．
$m$は点$\mathrm{B}(1,\ 2,\ -3)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{v}=(1,\ -1,\ 1)$に平行な直線である．
$n$は点$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 0)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{w}=(1,\ 2,\ 1)$に平行な直線である．
$\mathrm{P}$を$\ell$上の点として，$\mathrm{P}$から$m$，$n$へ下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を最小にするような$\mathrm{P}$と，そのときの$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を求めよ．
$\ell$は点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ -2)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{u}=(2,\ 1,\ -1)$に平行な直線である．
$m$は点$\mathrm{B}(1,\ 2,\ -3)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{v}=(1,\ -1,\ 1)$に平行な直線である．
$n$は点$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 0)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{w}=(1,\ 2,\ 1)$に平行な直線である．
$\mathrm{P}$を$\ell$上の点として，$\mathrm{P}$から$m$，$n$へ下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を最小にするような$\mathrm{P}$と，そのときの$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を求めよ．
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