双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$の第$1$象限にある部分と，原点$\mathrm{O}$を中心とする円の第$1$象限にある部分を，それぞれ$C_1$，$C_2$とする．$C_1$と$C_2$は$2$つの異なる点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，点$\mathrm{A}$における$C_1$の接線$\ell$と線分$\mathrm{OA}$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{6}$であるとする．このとき，$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を求めよ．