$xy$平面内で，$y$軸上の点$\mathrm{P}$を中心とする円$C$が$2$つの曲線 \[ C_1:y=\sqrt{3}\log (1+x),\quad C_2:y=\sqrt{3}\log (1-x) \] とそれぞれ点$\mathrm{A}$，点$\mathrm{B}$で接しているとする．さらに$\triangle \mathrm{PAB}$は$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が$y$軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする．このとき$3$つの曲線$C$，$C_1$，$C_2$で囲まれた部分の面積を求めよ．