京都大学
2013年 理系 第2問
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$N$を$2$以上の自然数とし，$a_n \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を次の性質$\tokeiichi,\ \tokeini$をみたす数列とする．
(ⅰ) $a_1=2^N-3$
(ⅱ) $n=1,\ 2,\ \cdots$に対して，
$a_n$が偶数のとき$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}{2}$，$a_n$が奇数のとき$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n-1}{2}$．
このときどのような自然数$M$に対しても \[ \sum_{n=1}^M a_n \leqq 2^{N+1}-N-5 \] が成り立つことを示せ．
(ⅰ) $a_1=2^N-3$
(ⅱ) $n=1,\ 2,\ \cdots$に対して，
$a_n$が偶数のとき$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}{2}$，$a_n$が奇数のとき$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n-1}{2}$．
このときどのような自然数$M$に対しても \[ \sum_{n=1}^M a_n \leqq 2^{N+1}-N-5 \] が成り立つことを示せ．
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