杏林大学
2012年 医学部 第4問
4
![座標平面上の点P(x,y)がt≧0に対してx=1-e^{-3t},y=8-3t-8e^{-3t}で表されるとき，以下の問いに答えよ．(1)t→∞のときxの極限値は\lim_{t→∞}x=[ア]であり，t=0のときdy/dt=[イウ]となる．また，任意のtに対して\frac{d^2x}{dt^2}+[エ]dx/dt=[オ]，\frac{d^2y}{dt^2}+[カ]dy/dt=[キク]が成り立つ．(2)dy/dx=0となるtの値をαとすると，e^α=[ケ]となる．このときのxの値をβとすると，β=\frac{[コ]}{[サ]}であり，yの値は[シ]-[ス]αである．(3)0≦t≦αに対して点Pの描く曲線と，直線x=βおよびx軸で囲まれた部分の面積は\frac{[セソ]}{[タチ]}+\frac{[ツ]}{[テ]}αとなる．](./thumb/200/481/2012_4.png)
4
座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$t \geqq 0$に対して
\[ x=1-e^{-3t},\quad y=8-3t-8e^{-3t} \]
で表されるとき，以下の問いに答えよ．
(1) $t \to \infty$のとき$x$の極限値は \[ \lim_{t \to \infty} x=\fbox{ア} \] であり，$t=0$のとき \[ \frac{dy}{dt}=\fbox{イウ} \] となる．また，任意の$t$に対して
$\displaystyle \frac{d^2 x}{dt^2}+\fbox{エ} \frac{dx}{dt}=\fbox{オ}$，
$\displaystyle \frac{d^2 y}{dt^2}+\fbox{カ} \frac{dy}{dt}=\fbox{キク}$
が成り立つ．
(2) $\displaystyle \frac{dy}{dx}=0$となる$t$の値を$\alpha$とすると，$e^\alpha=\fbox{ケ}$となる．このときの$x$の値を$\beta$とすると，$\displaystyle \beta=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}$であり，$y$の値は$\fbox{シ}-\fbox{ス} \alpha$である．
(3) $0 \leqq t \leqq \alpha$に対して点$\mathrm{P}$の描く曲線と，直線$x=\beta$および$x$軸で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{セソ}}{\fbox{タチ}}+\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}} \alpha$となる．
(1) $t \to \infty$のとき$x$の極限値は \[ \lim_{t \to \infty} x=\fbox{ア} \] であり，$t=0$のとき \[ \frac{dy}{dt}=\fbox{イウ} \] となる．また，任意の$t$に対して
$\displaystyle \frac{d^2 x}{dt^2}+\fbox{エ} \frac{dx}{dt}=\fbox{オ}$，
$\displaystyle \frac{d^2 y}{dt^2}+\fbox{カ} \frac{dy}{dt}=\fbox{キク}$
が成り立つ．
(2) $\displaystyle \frac{dy}{dx}=0$となる$t$の値を$\alpha$とすると，$e^\alpha=\fbox{ケ}$となる．このときの$x$の値を$\beta$とすると，$\displaystyle \beta=\frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}$であり，$y$の値は$\fbox{シ}-\fbox{ス} \alpha$である．
(3) $0 \leqq t \leqq \alpha$に対して点$\mathrm{P}$の描く曲線と，直線$x=\beta$および$x$軸で囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{\fbox{セソ}}{\fbox{タチ}}+\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}} \alpha$となる．
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