$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{3}$を満たす$\theta$と正の実数$p$に対して，$a_1=\log_4 (p \sin \theta)$，$a_2=\log_4 (\sin 2\theta)$，$a_3=\log_4 (\sin 3\theta)$とする．
(1) $a_1=a_2=a_3$となるのは， \[ p=\frac{\fbox{ア}+\sqrt{\fbox{イ}}}{\fbox{ウ}},\quad \theta=\frac{\fbox{エ}}{\fbox{オ}} \pi \] のときである．
(2) $3$つの数$a_1,\ a_2,\ a_3$がこの順に等差数列をなしているとする．このとき， \[ p>\frac{\fbox{カ}}{\fbox{キ}} \] となる．$p$をこの範囲で変化させたとき，$a_2+a_3$が最大となるのは， \[ \cos^2 \theta=\frac{\fbox{クケ}+\sqrt{\fbox{コサシ}}}{\fbox{スセ}},\quad p=\frac{\fbox{ソ}+\sqrt{\fbox{コサシ}}}{\fbox{タチ}} \] のときである．
(3) $p=2$で，$a_1,\ a_2,\ a_3$がこの順に等差数列をなしているとき，この数列の初項$a_1$および公差$d$は \[ a_1=\frac{\fbox{ツ}}{\fbox{テ}},\quad d=\frac{\fbox{トナ}}{\fbox{ニ}} \] である．この初項と公差を持つ等差数列$\{a_k\} \ \ (k=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$に対して，極限値 \[ \alpha=\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n 2^{2a_k} \] を定義すると，$\alpha$は$2$次方程式 \[ x^2-\fbox{ヌ} x-\fbox{ネ}=0 \] の解となっている．