$\fbox{タ}$の解答は解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．
一辺の長さが$2$である正五角形$\mathrm{OABCD}$において，$\displaystyle \overrightarrow{a}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{OD}}$，$k=|\overrightarrow{\mathrm{DA}}|$とする．
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+\overrightarrow{\mathrm{DB}}$と$|\overrightarrow{\mathrm{DB}}|=k$より， \[ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=k \overrightarrow{a}+\fbox{ア} \overrightarrow{d} \] が成り立つ．また， \[ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\fbox{イ} \overrightarrow{a}+k \overrightarrow{d} \] と表せる．
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=k$より， \[ k=\fbox{ウ}+\sqrt{\fbox{エ}},\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{d}=\frac{\fbox{オ}-\sqrt{\fbox{カ}}}{\fbox{キ}} \] となる．
また，直線$\mathrm{OA}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とすると， \[ \overrightarrow{\mathrm{OE}}=\left( \fbox{ク}+\sqrt{\fbox{ケ}} \right) \overrightarrow{a} \] であり，点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{BC}$を$2:\fbox{コ}+\sqrt{\fbox{サ}}$に外分する．
(3) 正五角形$\mathrm{OABCD}$の内接円の半径を$\alpha$とすると， \[ \alpha^2=\fbox{シ}+\frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} \sqrt{\fbox{ソ}} \] である．点$\mathrm{O}$を極とし，半直線$t \overrightarrow{\mathrm{OA}} \ \ (t \geqq 0)$を始線としたとき，極座標$(r,\ \theta)$を用いて直線$\mathrm{AD}$の極方程式は$r=\fbox{タ}$と表わされる．
$\fbox{タ}$の解答群 \setstretch{2.5} \[ \begin{array}{lll} \maruichi \ \ 2 \cos \theta+\displaystyle\frac{2}{\alpha} \sin \theta \phantom{AAA} & \maruni \ \ 2 \cos \theta-\displaystyle\frac{2}{\alpha} \sin \theta \phantom{AAA} & \marusan \ \ 2 \cos \theta+2\alpha \sin \theta \\ \marushi \ \ 2 \cos \theta-2 \alpha \sin \theta & \marugo \ \ \displaystyle\frac{2\alpha}{\alpha \cos \theta+\sin \theta} & \maruroku \ \ \displaystyle\frac{2\alpha}{\alpha \cos \theta-\sin \theta} \\ \marushichi \ \ \displaystyle\frac{2}{\cos \theta+\alpha \sin \theta} & \maruhachi \ \ \displaystyle\frac{2}{\cos \theta-\alpha \sin \theta} & \end{array} \] \setstretch{1.4}