動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は，時刻$t=0$においてすべて点$\mathrm{A}(3,\ 0)$にあり，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$3$の円周上を反時計まわりに移動する．時刻$t$において$\angle \mathrm{AOP}=t$，$\angle \mathrm{AOQ}=2t$，$\angle \mathrm{AOR}=3t$である．以下，$t$は$0<t<\pi$を満たすものとする．
(1) 時刻$t$において，三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$は， \[ S=\fbox{ア} \sin t-\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}} \sin \left( \fbox{エ} t \right) \] と表わせる．面積$S$は$\displaystyle t=\frac{\fbox{オ}}{\fbox{カ}} \pi$のとき最大値$\displaystyle \frac{\fbox{キク}}{\fbox{ケ}} \sqrt{\fbox{コ}}$をとる．
(2) 点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{PQ}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．時刻$t$において，行列
$\left( \begin{array}{cc} \cos \displaystyle\frac{3}{2}t & \sin \displaystyle\frac{3}{2}t \\ -\sin \displaystyle\frac{3}{2}t & \cos \displaystyle\frac{3}{2}t \end{array} \right)$で表わされる$1$次変換により，点$\mathrm{H}$は \[ \left( 3 \cos \left( \frac{\fbox{サ}}{\fbox{シ}} t \right),\ 3 \sin \left( \frac{\fbox{ス}}{\fbox{セ}} t \right) \right) \] に移動する．$\mathrm{OH}^2$は$\displaystyle \cos t=\frac{\sqrt{\fbox{ソ}}}{\fbox{タ}}$を満たす時刻$t$において最大値$\fbox{チ}+\fbox{ツ} \sqrt{\fbox{テ}}$をとる．
(3) 時刻$t$の変化にともない，線分$\mathrm{PR}$の中点が描く軌跡を$C$とする．点$\mathrm{O}$を極とし，半直線$\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}} \ \ (\alpha \geqq 0)$を始線としたとき，曲線$C$の極方程式は，極座標$(r,\ \theta)$を用いて \[ r=\fbox{ト} \cos \left( \frac{\fbox{ナ}}{\fbox{ニ}} \theta \right) \] と表わされる．