実数$x$に対し \[ f(x)=e^{3x}+e^{-3x},\qquad g(x)=e^{3x}-e^{-3x} \] で定義される$2$つの関数$f(x)$と$g(x)$および$\displaystyle h(x)=\frac{g(x)}{f(x)}$で与えられる関数$h(x)$について，以下の問いに答えよ．
(1) 関数$f(x),\ g(x)$は \[ \frac{d}{dx}f(x)=\fbox{ア} g(x),\qquad \frac{d}{dx}g(x)=\fbox{イ} f(x) \] という関係を満たす．また，関数$h(x)$に対して \[ h(0)=\fbox{ウ},\ \ \lim_{x \to \infty} h(x)=\fbox{エ},\ \ \lim_{x \to -\infty} h(x)=\fbox{オカ},\ \ \frac{d}{dx}h(x)=\frac{\fbox{キク}}{(f(x))^2} \] が成り立つ．
(2) $x$座標が$\displaystyle a=\frac{1}{3} \log_e 2$である点$(a,\ h(a))$における，曲線$y=h(x)$の接線を$C$とする．接線$C$と直線$y=\fbox{エ}$の交点の$x$座標を$b$とすると，$\displaystyle b-a=\frac{\fbox{ケ}}{\fbox{コサ}}$となる．
(3) $x \geqq a$の領域において，接線$C$，曲線$y=h(x)$，直線$y=\fbox{エ}$および直線$x=t \ \ (>b)$で囲まれた図形の面積を$S(t)$とすると， \[ \lim_{t \to \infty} S(t)=\frac{\fbox{シス}}{\fbox{セソ}}+\frac{1}{\fbox{タ}} \log_e \frac{\fbox{チ}}{\fbox{ツ}} \] が成り立つ．