東北医科薬科大学
2010年 薬学部 第3問
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初項$2$,公差$4$の等差数列$a_n$を
\[ \begin{array}{cccccc}
a_1 & a_2 & a_4 & a_7 & a_{11} & \cdots \\
a_3 & a_5 & a_8 & a_{12} & \cdots & \cdots \\
a_6 & a_9 & \swarrow & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{10} & \swarrow & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots
\end{array} \]
とならべて,これを
\[ \begin{array}{cccccc}
b(1,\ 1) & b(1,\ 2) & b(1,\ 3) & b(1,\ 4) & b(1,\ 5) & \cdots \\
b(2,\ 1) & b(2,\ 2) & b(2,\ 3) & b(2,\ 4) & \cdots & \cdots \\
b(3,\ 1) & b(3,\ 2) & \swarrow & \cdots & \cdots & \cdots \\
b(4,\ 1) & \swarrow & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots
\end{array} \]
と表す.例えば$a_1=b(1,\ 1)$である.このとき,次の問に答えなさい.
(1) このとき,$b(1,\ 2)=\fbox{ア}$である.
(2) $1$行目の$l$番目の数は$b(1,\ l)=\fbox{イ}l^2-\fbox{ウ}l+\fbox{エ}$である.
(3) $1$行目の$1$番目の数から$1$行目の$k$番目の数までの和は \[ \sum_{l=1}^k b(1,\ l)=\frac{\fbox{オ}k \left( k^{\fbox{カ}}+\fbox{キ} \right)}{\fbox{ク}} \] である.
(4) $k$行目の$l$番目の数は \[ b(k,\ l)=\fbox{ケ}k^2+\fbox{コ}l^2+\fbox{サ}kl-\fbox{シ}k-\fbox{ス}l+\fbox{セ} \] である.
(5) $1$行目から$n$行目までの$1$番目の数から$n$番目の数までの和を$S(n)$とおく.このとき,$S(2)$は \[ \begin{array}{cc} b(1,\ 1) & b(1,\ 2) \\ b(2,\ 1) & b(2,\ 2) \\ \end{array} \] の和なので$S(2)=\fbox{ソタ}$である.また,$\displaystyle S(k)=\frac{k^{\fbox{チ}} (\fbox{ツ}k^2-\fbox{テ})}{\fbox{ト}}$である.
(1) このとき,$b(1,\ 2)=\fbox{ア}$である.
(2) $1$行目の$l$番目の数は$b(1,\ l)=\fbox{イ}l^2-\fbox{ウ}l+\fbox{エ}$である.
(3) $1$行目の$1$番目の数から$1$行目の$k$番目の数までの和は \[ \sum_{l=1}^k b(1,\ l)=\frac{\fbox{オ}k \left( k^{\fbox{カ}}+\fbox{キ} \right)}{\fbox{ク}} \] である.
(4) $k$行目の$l$番目の数は \[ b(k,\ l)=\fbox{ケ}k^2+\fbox{コ}l^2+\fbox{サ}kl-\fbox{シ}k-\fbox{ス}l+\fbox{セ} \] である.
(5) $1$行目から$n$行目までの$1$番目の数から$n$番目の数までの和を$S(n)$とおく.このとき,$S(2)$は \[ \begin{array}{cc} b(1,\ 1) & b(1,\ 2) \\ b(2,\ 1) & b(2,\ 2) \\ \end{array} \] の和なので$S(2)=\fbox{ソタ}$である.また,$\displaystyle S(k)=\frac{k^{\fbox{チ}} (\fbox{ツ}k^2-\fbox{テ})}{\fbox{ト}}$である.
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