日本医科大学
2013年 医学部 第3問
3
3
次の各問いに答えよ.
(1) $x \geqq 1,\ k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$として \[ I_k(x)=\int \frac{(\log x)^k}{x^2} \, dx \] とおくとき,$I_0(x)$を求め,$I_{k+1}(x)$を$I_k(x)$を用いて表せ.また$I_4(x)$を求めよ.
(2) $x>0$で不等式$\displaystyle \log x \leqq \frac{3}{e}x^{\frac{1}{3}}$が成り立つことを証明せよ.
(3) 関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{x}$に関する以下の各問いに答えよ.
(ⅰ) $y=f(x) \ \ (x \geqq 1)$の極値,極限$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$を調べ,増減表を作り,グラフの概形を描け.
(ⅱ) $n>1$として,$y=f(x)$と$2$直線$x=n$,$x=n^2$および$x$軸で囲まれる部分$D_n$の面積$S_n$を求めよ.
(ⅲ) $D_n$を$x$軸のまわりに回転して得られる立体の体積$V_n$を求めよ. [$\tokeishi$] 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{nV_n}{(\log n)S_n}$の値を求めよ.
(1) $x \geqq 1,\ k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots$として \[ I_k(x)=\int \frac{(\log x)^k}{x^2} \, dx \] とおくとき,$I_0(x)$を求め,$I_{k+1}(x)$を$I_k(x)$を用いて表せ.また$I_4(x)$を求めよ.
(2) $x>0$で不等式$\displaystyle \log x \leqq \frac{3}{e}x^{\frac{1}{3}}$が成り立つことを証明せよ.
(3) 関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^2}{x}$に関する以下の各問いに答えよ.
(ⅰ) $y=f(x) \ \ (x \geqq 1)$の極値,極限$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$を調べ,増減表を作り,グラフの概形を描け.
(ⅱ) $n>1$として,$y=f(x)$と$2$直線$x=n$,$x=n^2$および$x$軸で囲まれる部分$D_n$の面積$S_n$を求めよ.
(ⅲ) $D_n$を$x$軸のまわりに回転して得られる立体の体積$V_n$を求めよ. [$\tokeishi$] 極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{nV_n}{(\log n)S_n}$の値を求めよ.
類題(関連度順)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。