久留米大学
2014年 医学部 第5問
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![半径1の円に内接する正n角形をN_1^{(n)}，N_1^{(n)}に内接する円をC_1^{(n)}とし，さらにC_1^{(n)}に内接する正n角形をN_2^{(n)}，N_2^{(n)}に内接する円をC_2^{(n)}とする．同様にしてN_3^{(n)}，C_3^{(n)}，N_4^{(n)}，C_4^{(n)}，・・・，N_k^{(n)}，C_k^{(n)}を定義する．このとき，円C_k^{(n)}の半径R_k^{(n)}と正n角形N_k^{(n)}の面積S_k^{(n)}は，それぞれnとkを用いてR_k^{(n)}=[12]，S_k^{(n)}=[13]と表すことができる．また，S_m=Σ_{k=1}^mS_k^{(n)}とおいたとき，\lim_{m→∞}S_m=[14]である．ここで，n,kは正の整数とする．](./thumb/690/1920/2014_5.png)
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半径$1$の円に内接する正$n$角形を$N_1^{(n)}$，$N_1^{(n)}$に内接する円を$C_1^{(n)}$とし，さらに$C_1^{(n)}$に内接する正$n$角形を$N_2^{(n)}$，$N_2^{(n)}$に内接する円を$C_2^{(n)}$とする．同様にして$N_3^{(n)}$，$C_3^{(n)}$，$N_4^{(n)}$，$C_4^{(n)}$，$\cdots$，$N_k^{(n)}$，$C_k^{(n)}$を定義する．このとき，円$C_k^{(n)}$の半径$R_k^{(n)}$と正$n$角形$N_k^{(n)}$の面積$S_k^{(n)}$は，それぞれ$n$と$k$を用いて$R_k^{(n)}=\fbox{$12$}$，$S_k^{(n)}=\fbox{$13$}$と表すことができる．また，$\displaystyle S_m=\sum_{k=1}^m S_k^{(n)}$とおいたとき，$\displaystyle \lim_{m \to \infty}S_m=\fbox{$14$}$である．ここで，$n,\ k$は正の整数とする．
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