京都大学
2013年 理系 第2問
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![Nを2以上の自然数とし,a_n(n=1,2,・・・)を次の性質(i),(ii)をみたす数列とする.(i)a_1=2^N-3(ii)n=1,2,・・・に対して,a_nが偶数のときa_{n+1}=\frac{a_n}{2},a_nが奇数のときa_{n+1}=\frac{a_n-1}{2}.このときどのような自然数Mに対してもΣ_{n=1}^Ma_n≦2^{N+1}-N-5が成り立つことを示せ.](./thumb/472/901/2013_2.png)
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$N$を$2$以上の自然数とし,$a_n \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$を次の性質$\tokeiichi,\ \tokeini$をみたす数列とする.
(ⅰ) $a_1=2^N-3$
(ⅱ) $n=1,\ 2,\ \cdots$に対して,
$a_n$が偶数のとき$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}{2}$,$a_n$が奇数のとき$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n-1}{2}$.
このときどのような自然数$M$に対しても \[ \sum_{n=1}^M a_n \leqq 2^{N+1}-N-5 \] が成り立つことを示せ.
(ⅰ) $a_1=2^N-3$
(ⅱ) $n=1,\ 2,\ \cdots$に対して,
$a_n$が偶数のとき$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n}{2}$,$a_n$が奇数のとき$\displaystyle a_{n+1}=\frac{a_n-1}{2}$.
このときどのような自然数$M$に対しても \[ \sum_{n=1}^M a_n \leqq 2^{N+1}-N-5 \] が成り立つことを示せ.
類題(関連度順)
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