$\alpha$を実数とする．$2$つの関数$f(x)=e^{-x}(\sin x-\cos x)$と$g(x)=\alpha e^{-x}$について，次の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle \int f(x) \, dx=-e^{-x} \sin x+C$であることを示せ．ただし，$C$は積分定数である．
(2) すべての$x \geqq 0$について$f(x) \leqq g(x)$が成り立つような$\alpha$の値の最小値を求めよ．
(3) $\alpha$を$(2)$で求めた最小値とする．曲線$y=f(x) \ \ (x \geqq 0)$と曲線$y=g(x) \ \ (x \geqq 0)$との共有点の$x$座標を小さい方から順に$a_0,\ a_1,\ a_2,\ \cdots$とし，$n$が自然数であるとき， \[ S_n=\int_{a_{n-1}}^{a_n} \left\{ g(x)-\frac{|f(x)|+f(x)}{2} \right\} \, dx \] とする．このとき，$S_n$を求めよ．
(4) $(3)$で求めた$S_n$について，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty S_n$の和を求めよ．