香川大学
2012年 工学部 第2問
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![C_1を,中心が(1,1),半径が1の円とする.円C_2,C_3,C_4,・・・を次のように定める.円C_nは,x軸,y軸および円C_{n-1}に接し,円C_nの半径r_nは,円C_{n-1}の半径r_{n-1}よりも小さいものとする.このとき,次の問に答えよ.(1)Oを原点とし,n=2,3,4,・・・に対してP_nをC_nとC_{n-1}の接点とするとき,OP_nの長さをr_nで表せ.(2)r_nとr_{n-1}の関係式を求め,数列{r_n}が等比数列であることを示せ.(3)円C_6は,原点を中心とした半径\frac{1}{1000}の円の内部に含まれることを示せ.](./thumb/665/2851/2012_2.png)
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$C_1$を,中心が$(1,\ 1)$,半径が1の円とする.円$C_2,\ C_3,\ C_4,\ \cdots$を次のように定める.
円$C_n$は,$x$軸,$y$軸および円$C_{n-1}$に接し,円$C_n$の半径$r_n$は,円$C_{n-1}$の半径$r_{n-1}$よりも小さいものとする.
このとき,次の問に答えよ.
(1) Oを原点とし,$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対してP$_n$を$C_n$と$C_{n-1}$の接点とするとき,OP$_n$の長さを$r_n$で表せ.
(2) $r_n$と$r_{n-1}$の関係式を求め,数列$\{r_n\}$が等比数列であることを示せ.
(3) 円$C_6$は,原点を中心とした半径$\displaystyle \frac{1}{1000}$の円の内部に含まれることを示せ.
円$C_n$は,$x$軸,$y$軸および円$C_{n-1}$に接し,円$C_n$の半径$r_n$は,円$C_{n-1}$の半径$r_{n-1}$よりも小さいものとする.
このとき,次の問に答えよ.
(1) Oを原点とし,$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$に対してP$_n$を$C_n$と$C_{n-1}$の接点とするとき,OP$_n$の長さを$r_n$で表せ.
(2) $r_n$と$r_{n-1}$の関係式を求め,数列$\{r_n\}$が等比数列であることを示せ.
(3) 円$C_6$は,原点を中心とした半径$\displaystyle \frac{1}{1000}$の円の内部に含まれることを示せ.
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