筑波大学
2012年 理系 第2問
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曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x+2} \ (x>-2)$を考える.曲線$C$上の点P$_1 \displaystyle (0,\ \frac{1}{2})$における接線を$\ell_1$とし,$\ell_1$と$x$軸との交点をQ$_1$,点Q$_1$を通り$x$軸と垂直な直線と曲線$C$との交点をP$_2$とおく.以下同様に,自然数$n \ (n \geqq 2)$に対して,点P$_n$における接線を$\ell_n$とし,$\ell_n$と$x$軸との交点をQ$_n$,点Q$_n$を通り$x$軸と垂直な直線と曲線$C$との交点をP$_{n+1}$とおく.
(1) $\ell_1$の方程式を求めよ.
(2) P$_n$の$x$座標を$x_n \ (n \geqq 1)$とする.$x_{n+1}$を$x_n$を用いて表し,$x_n$を$n$を用いて表せ.
(3) $\ell_n$,$x$軸,$y$軸で囲まれる三角形の面積$S_n$を求め,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ.
(1) $\ell_1$の方程式を求めよ.
(2) P$_n$の$x$座標を$x_n \ (n \geqq 1)$とする.$x_{n+1}$を$x_n$を用いて表し,$x_n$を$n$を用いて表せ.
(3) $\ell_n$,$x$軸,$y$軸で囲まれる三角形の面積$S_n$を求め,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n$を求めよ.
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