防衛医科大学校
2011年 医学部 第1問
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以下の問に答えよ.
(1) $a,\ b,\ c$は正の整数で,$a<b<c,\ a+b<c$を満たすものとする.このとき整式$ax^2-(a^2+ab)x+a^2b-174$が$x-c$で割り切れるような$(a,\ b,\ c)$の組があればすべて求めよ.
(2) $\alpha=1+\sqrt{3}i,\ \beta=1-\sqrt{3}i$のとき \[ \left( \frac{\beta^2-4\beta+8}{\alpha^{n+2}-\alpha^{n+1}+2\alpha^n+4\alpha^{n-1}+\alpha^3-2\alpha^2+5\alpha-2} \right)^3 \] はいくらか.ただし,$n$は2以上の自然数,$i$は虚数単位とする.
(3) $y=\cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$の逆関数を$y=f(x)$とおく.$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{2}$における,$f(x)$の第2次導関数の値$\displaystyle f^{\prime\prime} \biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \biggr)$はいくらか.
(1) $a,\ b,\ c$は正の整数で,$a<b<c,\ a+b<c$を満たすものとする.このとき整式$ax^2-(a^2+ab)x+a^2b-174$が$x-c$で割り切れるような$(a,\ b,\ c)$の組があればすべて求めよ.
(2) $\alpha=1+\sqrt{3}i,\ \beta=1-\sqrt{3}i$のとき \[ \left( \frac{\beta^2-4\beta+8}{\alpha^{n+2}-\alpha^{n+1}+2\alpha^n+4\alpha^{n-1}+\alpha^3-2\alpha^2+5\alpha-2} \right)^3 \] はいくらか.ただし,$n$は2以上の自然数,$i$は虚数単位とする.
(3) $y=\cos x \ (0 \leqq x \leqq \pi)$の逆関数を$y=f(x)$とおく.$\displaystyle x=\frac{\sqrt{3}}{2}$における,$f(x)$の第2次導関数の値$\displaystyle f^{\prime\prime} \biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \biggr)$はいくらか.
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