京都府立大学
2015年 生命環境(環境・情報) 第4問
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$a>0$,$\displaystyle b>\frac{1}{2}$とする.$xy$平面上に,
曲線$C_1$:$y=\log x \ \ (x>0)$,曲線$C_2$:$y=ax^2-b \ \ (x>0)$
がある.$C_1$と$C_2$は点$\mathrm{P}$で接している.$\mathrm{P}$の$x$座標を$b$の関数と考えて$x(b)$とする.$C_1$と$C_2$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$b$の関数と考えて$S(b)$とする.以下の問いに答えよ.
(1) $x(b)$を$b$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle S \left( \frac{3}{2} \right)$の値を求めよ.
(3) $\displaystyle \lim_{b \to \infty} S(b)=1$となることを示せ.
曲線$C_1$:$y=\log x \ \ (x>0)$,曲線$C_2$:$y=ax^2-b \ \ (x>0)$
がある.$C_1$と$C_2$は点$\mathrm{P}$で接している.$\mathrm{P}$の$x$座標を$b$の関数と考えて$x(b)$とする.$C_1$と$C_2$と$x$軸で囲まれた部分の面積を$b$の関数と考えて$S(b)$とする.以下の問いに答えよ.
(1) $x(b)$を$b$を用いて表せ.
(2) $\displaystyle S \left( \frac{3}{2} \right)$の値を求めよ.
(3) $\displaystyle \lim_{b \to \infty} S(b)=1$となることを示せ.
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