徳島大学
2016年 医(医)・歯・薬 第2問
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$\triangle \mathrm{OAB}$において,次のように$6$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{P}^\prime$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{Q}^\prime$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{R}^\prime$を定める.辺$\mathrm{OA}$を$p:(1-p)$に内分する点を$\mathrm{P}$,$p:(1-p)$に外分する点を$\mathrm{P}^\prime$とする.同様に,辺$\mathrm{AB}$を$q:(1-q)$に内分する点を$\mathrm{Q}$,外分する点を$\mathrm{Q}^\prime$とし,辺$\mathrm{BO}$を$r:(1-r)$に内分する点を$\mathrm{R}$,外分する点を$\mathrm{R}^\prime$とする.ただし,$0<p<1$,$0<q<1$,$0<r<1$かつ$\displaystyle p \neq \frac{1}{2}$,$\displaystyle q \neq \frac{1}{2}$,$\displaystyle r \neq \frac{1}{2}$とする.
(1) $\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき,$p:q:r$を求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime}$が平行でないとする.$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の重心が一致するとき,$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致することを示せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime}$が平行であるとき,$2pqr+p+q+r=pq+qr+rp+1$が成り立つことを示せ.
(1) $\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致するとき,$p:q:r$を求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime}$が平行でないとする.$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime \mathrm{R}^\prime$の重心が一致するとき,$\triangle \mathrm{OAB}$の重心と$\triangle \mathrm{PQR}$の重心が一致することを示せ.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{Q}^\prime}$と$\overrightarrow{\mathrm{P}^\prime \mathrm{R}^\prime}$が平行であるとき,$2pqr+p+q+r=pq+qr+rp+1$が成り立つことを示せ.
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